Упр.626 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 + ВС2 = АВ2 + CD2. Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если AB/A1B1=AC/A1C1=AD/A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников.

Подробный ответ

1) Пусть диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Так как $$AC \perp BD$$, то треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ — прямоугольные.

По теореме Пифагора имеем:

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$
$$BC^2=BO^2+CO^2,$$
$$CD^2=CO^2+DO^2,$$
$$AD^2=AO^2+DO^2.$$

Сложим первые и третьи равенства:

$$AB^2+CD^2=(AO^2+BO^2)+(CO^2+DO^2).$$

Сложим второе и четвёртое равенства:

$$BC^2+AD^2=(BO^2+CO^2)+(AO^2+DO^2).$$

Правая часть в обоих случаях одинакова, значит

$$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2.$$

2) Докажем подобие треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Пусть $$D\in BC$$, $$D_1\in B_1C_1$$, а $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы. Проведём через точку $$E\in AC$$ прямую $$DE\parallel AB$$, а через точку $$E_1\in A_1C_1$$ прямую $$D_1E_1\parallel A_1B_1$$.

Тогда из параллельности прямых и свойства биссектрисы получаем:

$$\frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DB}=\frac{AC}{AB},$$
$$\frac{C_1E_1}{A_1E_1}=\frac{C_1D_1}{D_1B_1}=\frac{A_1C_1}{A_1B_1}.$$

По условию

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}.$$

Из равенства $$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$$ следует, что

$$\frac{CE}{EA}=\frac{C_1E_1}{A_1E_1}.$$

Отсюда

$$\frac{AE}{A_1E_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Кроме того, из равенства $$\dfrac{AD}{A_1D_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$$ получаем

$$\frac{AE}{A_1E_1}=\frac{AD}{A_1D_1}.$$

Рассмотрим треугольники $$AED$$ и $$A_1E_1D_1$$. У них

$$\frac{AE}{A_1E_1}=\frac{AD}{A_1D_1},$$

а углы при вершинах $$A$$ и $$A_1$$ равны, так как $$AD$$ и $$A_1D_1$$ — биссектрисы соответствующих углов. Значит, треугольники $$AED$$ и $$A_1E_1D_1$$ подобны, откуда

$$\angle A=\angle A_1.$$

Теперь из равенств

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$

и $$\angle A=\angle A_1$$ следует, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны по двум сторонам и углу между ними.