Упр.625 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна $$2a$$. Найдите площадь трапеции.
2. Задание учебника 2023 года. Основание $$AD$$ равнобедренной трапеции $$ABCD$$ в 5 раз больше основания $$BC$$. Высота $$BH$$ пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$M$$, площадь треугольника $$AMH$$ равна $$4\ \text{см}^2$$. Найдите площадь трапеции $$ABCD$$.

Пусть $$AD=5BC.$$ Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CK$$ на прямую $$AD$$. Тогда в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ имеем $$HK=BC$$, а значит

$$AH=\frac{AD-HK}{2}=\frac{5BC-BC}{2}=2BC.$$

Рассмотрим треугольники $$AMH$$ и $$CBM$$. У них

• $$\angle AMH=\angle CMB$$ — вертикальные;
• $$\angle AHM=\angle CBM=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle AMH \sim \triangle CMB$$, поэтому

$$\frac{MH}{MB}=\frac{AH}{BC}=2.$$

Отсюда $$MH=2MB$$, значит

$$BH=MH+MB=\frac{3}{2}MH.$$

По условию

$$S_{AMH}=\frac12\cdot AH\cdot MH=4.$$

Так как $$AH=2BC$$, получаем

$$\frac12\cdot 2BC\cdot MH=4,$$

то есть

$$BC\cdot MH=4.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac12(AD+BC)\cdot BH.$$

Подставим $$AD=5BC$$ и $$BH=\frac32MH$$:

$$S_{ABCD}=\frac12(5BC+BC)\cdot \frac32MH=4.5\cdot BC\cdot MH.$$

Так как $$BC\cdot MH=4$$, то

$$S_{ABCD}=4.5\cdot 4=18.$$

Ответ: $$18\text{ см}^2$$.