Упр.624 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

Подробный ответ

Обозначим площадь треугольника $$ABC$$ через $$S$$. Так как $$AP$$, $$BO$$ и $$CM$$ — медианы, то

$$BP=PC,\quad AO=OC,\quad AM=MB.$$

Рассмотрим треугольники с общей высотой к одной и той же стороне.

Из равенства оснований $$AO=OC$$ и общей высоты, опущенной из вершины $$B$$ на прямую $$AC$$, получаем

$$S_{ABO}=S_{OBC}=\frac{S}{2}.$$

Аналогично, так как $$BP=PC$$ и высота из точки $$A$$ к прямой $$BC$$ общая, то

$$S_{ABP}=S_{APC}=\frac{S}{2}.$$

И, наконец, из равенства $$AM=MB$$ и общей высоты к прямой $$AB$$ имеем

$$S_{AMC}=S_{MBC}=\frac{S}{2}.$$

Теперь рассмотрим сумму площадей треугольников $$ABP$$ и $$AMC$$:

$$S_{ABP}+S_{AMC}=S_{AME}+S_{EPC}+S,$$

откуда

$$S_{AME}=S_{EPC}.$$

Так как точки $$M$$ и $$B$$ лежат на одной медиане, а $$AM=MB$$, то треугольники $$AME$$ и $$MBE$$ имеют общую высоту из точки $$E$$ к прямой $$AB$$ и равные основания, значит

$$S_{AME}=S_{MBE}.$$

Аналогично из $$BP=PC$$ следует

$$S_{BEP}=S_{EPC},$$

а из $$AO=OC$$ —

$$S_{AEO}=S_{OEC}.$$

Следовательно, шесть треугольников, на которые медианы разбивают треугольник, попарно равны по площади:

$$S_{AME}=S_{MBE},\quad S_{AEO}=S_{OEC},\quad S_{BEP}=S_{EPC}.$$