Упр.624 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна $$h$$, а диагонали взаимно перпендикулярны.
2. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

Пусть диагонали равнобедренной трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а высота трапеции равна $$h$$. Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CF$$ на прямую $$AD$$. Тогда $$BF \perp CF$$ и $$BF \parallel AD$$, значит четырёхугольник $$BHFD$$ — прямоугольник.

Перенесём диагональ $$AC$$ параллельным переносом так, чтобы она совпала с отрезком $$HF$$. Тогда $$HF=AC$$.

Так как $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, то $$\angle A=\angle D$$, $$AB=CD$$, а $$AD$$ — общая сторона. Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$AC=BD$$.

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$BHDF$$. В нём $$BH \perp HD$$ и $$DF \perp BF$$, а также $$BD=HF$$. Значит, $$BHDF$$ — квадрат. Его сторона равна высоте трапеции, то есть $$h$$, поэтому

$$S_{BHDF}=h^2.$$

Но площадь трапеции равна площади этого квадрата, следовательно

$$S_{ABCD}=h^2.$$

Ответ: $$h^2$$.