Упр.623 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

а) Обозначим меньшее основание трапеции через $$BC=18$$ см, высоту $$BH=9$$ см, острый угол при основании $$\angle A=45^\circ$$.

Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ на основание $$AD$$. Тогда $$\triangle ABH$$ — прямоугольный, и

$$\angle ABH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, $$\triangle ABH$$ равнобедренный, поэтому

$$AH=BH=9\text{ см}.$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$. Следовательно, справа отрезок, отсекаемый боковой стороной, тоже равен $$9$$ см, то есть

$$FD=9\text{ см}.$$

Тогда большее основание

$$AD=AH+BC+FD=9+18+9=36\text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{36+18}{2}\cdot 9=243\text{ см}^2.$$

Ответ: $$243\text{ см}^2$$.

б) Пусть основания равнобедренной трапеции равны $$16$$ см и $$30$$ см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Расположим трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Тогда половина разности оснований равна

$$\frac{30-16}{2}=7\text{ см}.$$

Пусть высота трапеции равна $$h$$. Тогда диагонали имеют направления с горизонтальными проекциями $$\pm 15$$ и $$\mp 8$$, поэтому условие перпендикулярности диагоналей даёт

$$15\cdot 8=h^2.$$

Отсюда

$$h^2=120,\qquad h=2\sqrt{30}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{16+30}{2}\cdot h=23\cdot 2\sqrt{30}=46\sqrt{30}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$46\sqrt{30}\text{ см}^2$$.

в) В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, где $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, $$\angle ACD=90^\circ$$, $$BC=4$$ см, $$AD=16$$ см, найдём углы $$C$$ и $$D$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$. У них

$$\angle B=\angle ACD=90^\circ,$$

а также

$$\angle BCA=\angle CAD$$

как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$BC\parallel AD$$. Значит,

$$\triangle ABC\sim \triangle ACD.$$

Из подобия:

$$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{BC}.$$

Подставим данные:

$$\frac{16}{AC}=\frac{AC}{4},$$

откуда

$$AC^2=64,\qquad AC=8\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACD$$:

$$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}?$$

Удобнее найти по теореме Пифагора в треугольнике с катетами $$CH$$ и $$HD$$, где $$CH=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$$, а $$HD=AD-AH=16-4=12$$. Тогда

$$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+12^2}=\sqrt{48+144}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

Так как в прямоугольном треугольнике $$CHD$$

$$\sin \angle D=\frac{CH}{CD}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac12,$$

то

$$\angle D=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Ответ: $$\angle C=150^\circ,\ \angle D=30^\circ.$$