Упр.622 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите площадь четырёхугольника $$ABCD$$, в котором $$AB=5\text{ см}$$, $$BC=13\text{ см}$$, $$CD=9\text{ см}$$, $$DA=15\text{ см}$$, $$AC=12\text{ см}$$.
На стороне $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$AK=\frac{1}{4}KD$$. Диагональ $$AC$$ и отрезок $$BK$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$, если площадь треугольника $$APK$$ равна $$1\text{ см}^2$$.

Подробный ответ

Рассмотрим оба варианта задания.

1) Найдём площадь четырёхугольника $$ABCD$$

Проведём диагональ $$AC$$. Тогда

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Проверим, что треугольник $$ABC$$ прямоугольный:

$$AC^2+AB^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2=BC^2.$$

Значит, $$\angle BAC=90^\circ,$$ и

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot 5\cdot 12=30\ \text{см}^2.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$:

$$AC^2+CD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2=AD^2.$$

Следовательно, $$\angle ACD=90^\circ,$$ и

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AC\cdot CD=\frac12\cdot 12\cdot 9=54\ \text{см}^2.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=30+54=84\ \text{см}^2.$$

2) Найдём площадь параллелограмма $$ABCD$$

Рассмотрим треугольники $$APK$$ и $$CBP$$.

У них $$\angle APK=\angle CPB$$ как вертикальные, а $$\angle AKP=\angle CBP$$, так как $$AK\parallel BC$$ и точки $$A,K,D$$ лежат на одной прямой. Значит,

$$\triangle APK\sim \triangle CBP.$$

Из подобия получаем

$$\frac{BP}{PK}=\frac{BC}{AK}.$$

Так как $$AK=\frac14 KD,$$ то $$AK=\frac15 AD.$$ В параллелограмме $$AD=BC,$$ значит

$$\frac{BC}{AK}=5.$$

Следовательно,

$$\frac{BP}{PK}=5.$$

Треугольники $$APK$$ и $$APB$$ имеют общую высоту из точки $$A$$ к прямой $$BK$$, поэтому

$$\frac{S_{APB}}{S_{APK}}=\frac{BP}{PK}=5.$$

Отсюда

$$S_{APB}=5\cdot 1=5\ \text{см}^2.$$

Так как коэффициент подобия треугольников $$APK$$ и $$CBP$$ равен $$5$$, то отношение их площадей равно $$25$$: