Упр.621 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. В треугольнике $$ABC$$ $$BC=34\text{ см}$$. Перпендикуляр $$MN$$, проведённый из середины $$BC$$ к прямой $$AC$$, делит сторону $$AC$$ на отрезки $$AN=25\text{ см}$$ и $$NC=15\text{ см}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
- Задание учебника 2023 года. В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ сумма оснований равна $$b$$, диагональ $$AC$$ равна $$a$$, угол $$ACB=a$$. Найдите площадь трапеции.
Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH \perp AC$$.
Так как $$M$$ — середина отрезка $$BC$$ и $$MN \perp AC$$, то прямая, проходящая через середину стороны треугольника и перпендикулярная другой стороне, является серединным перпендикуляром к $$BC$$. Следовательно, точка $$N$$ равноудалена от $$B$$ и $$C$$, то есть
$$NB=NC=15\text{ см}.$$
Тогда
$$AC=AN+NC=25+15=40\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ по теореме Пифагора:
$$BH^2=BC^2-HC^2.$$
Найдём $$HC$$. Так как $$H$$ и $$N$$ лежат на прямой $$AC$$, то
$$HC=HN+NC.$$
Из равенства $$NB=NC$$ и того, что $$H$$ — основание высоты, получаем $$HN=NC=15\text{ см}$$, значит
$$HC=15+15=30\text{ см}.$$
Теперь
$$BH^2=34^2-30^2=1156-900=256,$$
откуда
$$BH=16\text{ см}.$$
Площадь треугольника $$ABC$$ равна
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 40\cdot 16=320\text{ см}^2.$$
Ответ: $$320\text{ см}^2$$.
