Упр.620 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если:
а) боковая сторона равна $$20\ \text{см}$$, а угол при основании равен $$30^\circ$$;
б) высота, проведённая к боковой стороне, равна $$6\ \text{см}$$ и образует с основанием угол в $$45^\circ$$.
В треугольнике $$ABC$$ ($$AB\ne AC$$) через середину стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Докажите, что $$BD=CE$$.

Подробный ответ

а) Проведём высоту $$BM$$ к основанию $$AC$$. Тогда $$\triangle BMA$$ — прямоугольный, а так как треугольник равнобедренный, то $$BM$$ является также медианой, значит $$AM=MC$$.

В прямоугольном треугольнике $$\triangle BMA$$ угол при основании равен $$30^\circ$$, гипотенуза $$AB=20$$ см. Тогда

$$BM=\frac{AB}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ см}.$$

Найдём основание:

$$AC=2AM=2\cdot BM\sqrt{3}=20\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 20\sqrt{3}\cdot 10=100\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

б) Пусть $$AH$$ — высота, проведённая к боковой стороне $$BC$$, причём $$AH=6$$ см и $$\angle HAC=45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle AHC$$. Так как

$$\angle HCA=90^\circ-\angle HAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$

то $$\triangle AHC$$ — равнобедренный прямоугольный, следовательно,

$$HC=AH=6\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\text{ см}.$$

Так как $$AB=BC$$, то углы при основании равны, а из условия $$\angle HAC=45^\circ$$ получаем, что треугольник симметричен относительно высоты, значит $$AH$$ является также высотой к основанию. Тогда площадь равна

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot AH=\frac12\cdot 6\sqrt{2}\cdot 6=18\sqrt{2}\text{ см}^2.$$