Упр.619 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Площадь ромба равна $$540\ \text{см}^2$$, а одна из его диагоналей равна $$4{,}5\ \text{дм}$$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.
- Биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$ треугольника $$ABC$$ пересекает прямую $$BC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$.
Пусть биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$ пересекает прямую $$BC$$ в точке $$D$$. Тогда точка $$D$$ лежит на продолжении стороны $$BC$$, и нужно доказать, что
$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$
Рассмотрим треугольники $$ADB$$ и $$ADC$$. Их площади можно выразить через одну и ту же высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$:
$$S_{ADB}=\frac12\cdot BD\cdot h,\qquad S_{ADC}=\frac12\cdot DC\cdot h,$$
где $$h$$ — расстояние от точки $$A$$ до прямой $$BC$$. Поэтому
$$\frac{S_{ADB}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}.$$
С другой стороны, рассмотрим треугольники $$DAB$$ и $$DAC$$. У них общая сторона $$AD$$, а поскольку $$AD$$ — биссектриса внешнего угла при вершине $$A$$, то
$$\angle DAB=\angle DAC.$$
Следовательно, площади этих треугольников относятся как прилежащие стороны:
$$\frac{S_{DAB}}{S_{DAC}}=\frac{AB}{AC}.$$
Но $$S_{DAB}=S_{ADB}$$ и $$S_{DAC}=S_{ADC}$$, значит
$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$
Перемножая пропорцию крест-накрест, получаем
$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$
Ответ
$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$
