Упр.618 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагонали ромба равны $$18\ \text{м}$$ и $$24\ \text{м}$$. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.
Точки $$M$$ и $$N$$ являются соответственно серединами сторон $$CD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что прямые $$AM$$ и $$AN$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$.

Тогда

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ м},$$
$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$:

$$AB^2=AO^2+BO^2=12^2+9^2=144+81=225,$$
$$AB=15\text{ м}.$$

Так как все стороны ромба равны, то

$$P_{ABCD}=4AB=4\cdot 15=60\text{ м}.$$

Площадь ромба можно найти по диагоналям:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18=216\text{ м}^2.$$

С другой стороны,

$$S=AD\cdot h=15\cdot h,$$

где $$h$$ — расстояние между параллельными сторонами ромба. Тогда

$$15h=216,$$
$$h=\frac{216}{15}=14{,}4\text{ м}.$$