Упр.617 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
2. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть $$MN=x.$$ Проведём высоту трапеции и обозначим её через $$h.$$ Тогда площади верхней и нижней трапеций равны:

$$S_1=\frac{(a+x)h_1}{2}, \qquad S_2=\frac{(b+x)h_2}{2},$$

где $$h_1$$ и $$h_2$$ — соответствующие высоты. Так как отрезок $$MN$$ параллелен основаниям, обе части трапеции имеют одну и ту же высоту в сумме, а условие равновеликости даёт

$$S_1=S_2=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$$

Удобнее рассмотреть отношение длин параллельных сечений трапеции. Длина отрезка, параллельного основаниям, меняется линейно, поэтому для сечения, делящего трапецию на две равновеликие части, выполняется

$$x^2=\frac{a^2+b^2}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$