Упр.616 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке O.
   
   а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
   
   б) Сравните площади треугольников ABO и CDO.
   
   в) Докажите, что выполняется равенство $$OA \times OB = OC \times OD$$.
2. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Ход решения

а) Треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общее основание $$AD$$. Их высоты, опущенные на прямую $$AD$$, равны, так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой, параллельной $$AD$$. Значит,

$$S_{ABD}=S_{ACD}.$$

б) Треугольник $$AOD$$ является общей частью треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$, поэтому

$$S_{ABO}=S_{ABD}-S_{AOD},$$
$$S_{CDO}=S_{ACD}-S_{AOD}.$$

Так как $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, то

$$S_{ABO}=S_{CDO}.$$

в) Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них

$$\angle BOA=\angle COD$$

как вертикальные углы.

Тогда по формуле площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

$$S_{BOA}=\frac{1}{2}\,OA\cdot OB\cdot \sin \angle BOA,$$
$$S_{COD}=\frac{1}{2}\,OC\cdot OD\cdot \sin \angle COD.$$

Поскольку $$\angle BOA=\angle COD$$, получаем

$$\frac{S_{BOA}}{S_{COD}}=\frac{OA\cdot OB}{OC\cdot OD}.$$

Но из пункта б) имеем $$S_{ABO}=S_{CDO}$$, то есть $$S_{BOA}=S_{COD}$$. Следовательно,

$$\frac{OA\cdot OB}{OC\cdot OD}=1,$$

откуда

$$OA\cdot OB=OC\cdot OD.$$

Ответ

а) $$S_{ABD}=S_{ACD}$$; б) $$S_{ABO}=S_{CDO}$$; в) $$OA\cdot OB=OC\cdot OD$$.