Упр.616 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке O. а) Сравните площади треугольников ABD и ACD. б) Сравните площади треугольников АВО и СDO. в) Докажите, что выполняется равенство ОА x ОВ = ОС x OD. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Подробный ответ

а) Треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общее основание $$AD$$. Их высоты, опущенные на прямую $$AD$$, равны, так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, параллельной $$AD$$. Значит,

$$S_{ABD}=\frac12 \cdot AD \cdot BH,\qquad S_{ACD}=\frac12 \cdot AD \cdot CF,$$

где $$BH=CF$$. Следовательно, $$S_{ABD}=S_{ACD}$$.

б) Диагональ $$BD$$ делит трапецию на треугольники $$ABD$$ и $$BCD$$, а диагональ $$AC$$ — на треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$. Тогда

$$S_{ABO}=S_{ABD}-S_{AOD},\qquad S_{CDO}=S_{ACD}-S_{AOD}.$$

Так как из пункта а) $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, то

$$S_{ABO}=S_{CDO}.$$

в) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них

$$\angle BOA=\angle COD$$

как вертикальные углы. Поэтому по формуле площади через две стороны и угол между ними

$$S_{AOB}=\frac12 \cdot OA \cdot OB \cdot \sin \angle BOA,$$

$$S_{COD}=\frac12 \cdot OC \cdot OD \cdot \sin \angle COD.$$

Так как $$S_{AOB}=S_{COD}$$ и $$\angle BOA=\angle COD$$, получаем

$$OA \cdot OB=OC \cdot OD.$$

Докажем, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию. Пусть в треугольнике проведена средняя линия, параллельная одной из его сторон. Тогда расстояния от двух вершин, лежащих на этой стороне, до прямой средней линии равны, поскольку эта прямая параллельна стороне треугольника. Третья вершина лежит на другой параллельной прямой, и расстояние от неё до средней линии равно половине расстояния между параллельными сторонами. Следовательно, все вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.