Упр.615 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и b.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции $$ABCD$$ через $$O$$. Тогда $$BD$$ и $$AC$$ пересекаются в точке $$O$$, а прямая $$EF$$ проходит через $$O$$ и параллельна основаниям трапеции.

Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$. У них

$$\angle BOC=\angle AOD$$ — вертикальные,

$$\angle BCO=\angle ADO$$ — накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$.

Следовательно, $$\triangle BOC \sim \triangle AOD$$, откуда

$$\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{a}{b}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$BEO$$ и $$AOD$$. Так как $$EF \parallel AD$$, то

$$\angle BEO=\angle BAD,$$

а также $$\angle BOE=\angle AOD$$ как вертикальные. Значит, $$\triangle BEO \sim \triangle BAD$$, и поэтому

$$\frac{EO}{AD}=\frac{BO}{BD}, \qquad EO=\frac{AD \cdot BO}{BD}=\frac{a \cdot BO}{BD}.$$

Аналогично, из подобия треугольников $$CDF$$ и $$ODB$$ получаем

$$\angle CDF=\angle ODB,\qquad \angle CFD=\angle OBD,$$

следовательно, $$\triangle CDF \sim \triangle ODB$$, откуда