Упр.615 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точку D, лежащую на стороне BC треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны AB и AC соответственно в точках E и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновелики.
2. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$, $$AD=a$$, $$BC=b$$. Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Через точку $$O$$ проведён отрезок $$EF \parallel AD \parallel BC$$, где $$E \in AB$$, $$F \in CD$$. Найдём его длину.

Рассмотрим треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$. У них:

• $$\angle BOC = \angle AOD$$ — вертикальные;
• $$\angle BCO = \angle ADO$$ — накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$.

Значит, $$\triangle BOC \sim \triangle AOD$$, откуда

$$\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$EBO$$. Так как $$EO \parallel AD$$, то

$$\angle ABD=\angle EBO,\qquad \angle ADB=\angle EOB,$$

следовательно, $$\triangle ABD \sim \triangle EBO$$. Тогда

$$\frac{EO}{AD}=\frac{BO}{BD},$$

то есть

$$EO=\frac{a\cdot BO}{BD}.$$

Аналогично, из подобия треугольников $$BDC$$ и $$ODF$$ получаем

$$\frac{OF}{BC}=\frac{OD}{BD},$$

значит

$$OF=\frac{b\cdot OD}{BD}.$$

Тогда

$$EF=EO+OF=\frac{a\cdot BO+b\cdot OD}{BD}.$$

Из отношения $$\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{b}{a}$$ получаем

$$BO=\frac{b}{a}OD.$$

Подставим это в формулу для $$BD$$:

$$BD=BO+OD=\frac{b}{a}OD+OD=\frac{a+b}{a}OD.$$

Теперь

$$EF=\frac{a\cdot \frac{b}{a}OD+b\cdot OD}{BD}=\frac{2b\cdot OD}{BD}.$$

Так как $$BD=\dfrac{a+b}{a}OD$$, то

$$EF=\frac{2b\cdot OD}{\frac{a+b}{a}OD}=\frac{2ab}{a+b}.$$

Ответ: $$\frac{2ab}{a+b}$$.