Упр.613 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

• Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
• Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, если:
  а) $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$$, где $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы треугольников;
  б) $$\angle A=\angle A_1$$, $$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1}$$, где $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание — $$AC$$, а точка $$M$$ лежит на $$AC$$. Проведём через $$M$$ перпендикуляры к боковым сторонам: $$MK \perp AB$$ и $$MN \perp BC$$.

Тогда площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{MBC}$$

и также
$$S_{ABC}=S_{ABF}+S_{FBC},$$

где $$F$$ — основание перпендикуляра из точки $$M$$ на сторону $$AB$$ или $$BC$$ соответственно. Удобнее записать через высоты к боковым сторонам:

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot MK+\frac12 BC\cdot MN,$$

$$S_{ABC}=\frac12 BC\cdot FE+\frac12 AB\cdot FQ.$$

Так как треугольник равнобедренный, то $$AB=BC$$. Следовательно,

$$\frac12 AB\,(MK+MN)=\frac12 AB\,(FE+FQ),$$

откуда

$$MK+MN=FE+FQ.$$

Значит, сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон не зависит от положения этой точки.