Упр.612 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?
Два шеста АВ и CD разной длины $$a$$ и $$b$$ установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что: а) $$\frac{m}{d}=\frac{x}{b}$$ и $$\frac{n}{d}=\frac{x}{a}$$; б) $$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$$. Найдите $$x$$ и докажите, что $$x$$ не зависит от расстояния $$d$$ между шестами АВ и CD.

Подробный ответ

а) Площадь треугольника выражается формулой $$S=\frac12 ah,$$ где $$a$$ — основание, $$h$$ — высота. Если у двух треугольников основания и высоты разные, то из того, что каждая сторона первого треугольника больше любой стороны второго, ещё не следует, что его площадь больше.

Например, у первого треугольника основание может быть больше, но высота — меньше, и тогда площадь окажется меньше. Значит, утверждение неверно.

б) Обозначим $$AB=a,$$ $$DC=b,$$ $$AK=m,$$ $$KC=n,$$ $$OK=x,$$ $$AC=d.$$ Тогда $$m+n=d.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AOK.$$ У них

$$\angle A$$ — общий, а $$\angle DCA=\angle OKA=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ADC \sim \triangle AOK$$ по двум углам. Отсюда

$$\frac{DC}{OK}=\frac{AC}{AK},$$

то есть

$$\frac{b}{x}=\frac{d}{m} \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{b}=\frac{m}{d}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KOC.$$ У них

$$\angle C$$ — общий, а $$\angle BAC=\angle OKC=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle KOC$$ по двум углам. Тогда

$$\frac{AB}{OK}=\frac{AC}{KC},$$