Упр.611 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?
- Докажите, что медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $$BC$$, концы которого лежат на сторонах $$AB$$ и $$AC$$.
Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, а через точку $$A$$ проведены прямые, пересекающие $$BC$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно. Тогда нужно получить
$$S_{ABM}=S_{AND}=S_{AMCN}.$$
Обозначим сторону квадрата через $$a$$. Тогда
$$S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot BM=\frac12\cdot a\cdot BM,$$
$$S_{AND}=\frac12\cdot AD\cdot DN=\frac12\cdot a\cdot DN.$$
Чтобы площади треугольников $$ABM$$ и $$AND$$ были равны, нужно, чтобы
$$BM=DN.$$
Кроме того, площадь четырёхугольника $$AMCN$$ равна площади квадрата без двух треугольников:
$$S_{AMCN}=S_{ABCD}-S_{ABM}-S_{AND}.$$
Если разделить стороны $$BC$$ и $$CD$$ на три равные части, то
$$BM=\frac23\,BC,\qquad DN=\frac23\,CD.$$
Тогда
$$S_{ABM}=\frac12\cdot a\cdot \frac23 a=\frac13a^2,$$
$$S_{AND}=\frac12\cdot a\cdot \frac23 a=\frac13a^2,$$
а значит, и
$$S_{AMCN}=a^2-\frac13a^2-\frac13a^2=\frac13a^2.$$
Следовательно, через вершину $$A$$ нужно провести две прямые к точкам $$M$$ и $$N$$, которые делят стороны $$BC$$ и $$CD$$ на три равные части, считая от вершины $$B$$ и $$D$$ соответственно.
Ответ
Нужно провести прямые $$AM$$ и $$AN$$, где $$M\in BC$$ и $$N\in CD$$ так, чтобы $$BM=\frac23\,BC$$ и $$DN=\frac23\,CD$$. Тогда площади трёх полученных фигур равны.
