Упр.605 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.
2. Диагональ $$AC$$ трапеции $$ABCD$$ делит её на два подобных треугольника. Докажите, что $$AC^2=ab$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания трапеции.

Пусть в равнобедренном прямоугольном треугольнике $$ABC$$ $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=BC=a$$. Тогда площадь квадрата, построенного на катете, равна

$$S_{1}=a^2.$$

Рассмотрим высоту $$CO$$, проведённую к гипотенузе $$AB$$. Так как $$\triangle ABC$$ — равнобедренный прямоугольный, то $$CO$$ является также медианой, значит, $$AO=OB$$.

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2,$$

откуда

$$AB=a\sqrt2.$$

Тогда

$$AO=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AOC$$:

$$OC^2=AC^2-AO^2=a^2-\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2=a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}.$$

Следовательно, площадь квадрата, построенного на высоте $$CO$$, равна

$$S_{2}=OC^2=\frac{a^2}{2}.$$

Итак,

$$S_{1}=a^2=2\cdot \frac{a^2}{2}=2S_{2}.$$

Значит, площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.