Упр.602 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $$120^\circ$$, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.
- Стороны прямоугольника равны 3 см и $$\sqrt{3}$$ см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
Пусть $$O$$ — центр окружности, описанной около $$\triangle ABC$$. Так как треугольник равнобедренный, то высота из вершины $$B$$ к основанию $$AC$$ является одновременно медианой и биссектрисой. Обозначим точку пересечения этой высоты с основанием через $$F$$.
Тогда $$BF \perp AC$$, а также $$AF=FC$$. Поскольку $$AB=BC=8$$ см, то
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABF$$. В нём
$$\angle BAF=30^\circ,\qquad AB=8.$$
Следовательно,
$$BF=AB\cdot \sin 30^\circ=8\cdot \frac12=4.$$
Теперь найдём радиус описанной окружности. Для любого треугольника
$$R=\frac{a}{2\sin A}.$$
Возьмём сторону $$AB=8$$ и противолежащий ей угол $$\angle C=30^\circ$$:
$$R=\frac{8}{2\sin 30^\circ}=\frac{8}{2\cdot \frac12}=8.$$
Тогда диаметр описанной окружности равен
$$d=2R=16.$$
Ответ: $$16$$ см.
