Упр.599 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса $$r$$. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна $$26$$ см, $$r=4$$ см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные $$5$$ см и $$12$$ см.
2. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями $$2$$ см и $$6$$ см, если угол при большем основании равен $$a$$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника через $$E$$, $$F$$ и $$H$$.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$AE=AH,\quad BF=BH,\quad CE=CF.$$

Тогда периметр треугольника равен

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=(AE+EH)+(BF+FH)+(CE+EA)=2(AE+BF+CE).$$

Так как в прямоугольном треугольнике с вписанной окружностью отрезки касательных на катетах равны радиусу, то

$$CE=CF=r.$$

Следовательно,

$$P_{ABC}=2(AB+r).$$

а)

По условию $$AB=26\text{ см}$$, $$r=4\text{ см}$$. Тогда

$$P_{ABC}=2(26+4)=2\cdot 30=60\text{ см}.$$

б)

Пусть точка касания делит гипотенузу на отрезки $$5\text{ см}$$ и $$12\text{ см}$$. Тогда гипотенуза равна

$$AB=5+12=17\text{ см}.$$

Для прямоугольного треугольника верно:

$$AE=AH,\quad BF=BH,$$

а значит, если $$AH=12\text{ см}$$ и $$BH=5\text{ см}$$, то

$$AC=AE+r=12+r,\quad BC=BF+r=5+r.$$

По теореме Пифагора:

$$17^2=(12+r)^2+(5+r)^2.$$

Раскроем скобки:

$$289=144+24r+r^2+25+10r+r^2,$$

$$2r^2+34r-120=0,$$

$$r^2+17r-60=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=17^2+4\cdot 60=529,$$

$$r=\frac{-17\pm 23}{2}.$$

Положительный корень:

$$r=3\text{ см}.$$

Тогда

$$P_{ABC}=2(17+3)=40\text{ см}.$$

Ответ: а) $$60\text{ см}$$; б) $$40\text{ см}$$.