Упр.597 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) $$24\ \text{см}$$, $$25\ \text{см}$$, $$7\ \text{см}$$; б) $$15\ \text{см}$$, $$17\ \text{см}$$, $$8\ \text{см}$$.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$. Выразите через $$a$$ и $$b$$ гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при $$a=12$$, $$b=15$$.

Пусть стороны треугольника равны $$24\text{ см},\ 25\text{ см},\ 7\text{ см}.$$ Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{24+25+7}{2}=28,$$
$$S=\sqrt{p(p-24)(p-25)(p-7)}=\sqrt{28\cdot 4\cdot 3\cdot 21}=\sqrt{7\cdot 4\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 7}=84\text{ см}^2.$$

Теперь используем формулу площади через высоту:

$$S=\frac12\cdot 7\cdot h,$$
откуда
$$h=\frac{2S}{7}=\frac{2\cdot 84}{7}=24\text{ см}.$$

Аналогично для остальных сторон:

$$S=\frac12\cdot 24\cdot h_1 \Rightarrow h_1=\frac{2\cdot 84}{24}=7\text{ см},$$
$$S=\frac12\cdot 25\cdot h_2 \Rightarrow h_2=\frac{2\cdot 84}{25}=\frac{168}{25}=6{,}72\text{ см}.$$

Меньшая высота равна $$6{,}72\text{ см}.$$

Ответ: а) $$6{,}72\text{ см}$$; б) $$7\frac{1}{17}\text{ см}.$$