Упр.595 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен $$50\ \text{см}$$, а разность смежных сторон равна $$1\ \text{см}$$.
2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $$b$$, а прилежащий к нему угол равен $$\alpha$$. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $$b$$ и $$\alpha$$. б) Найдите их значения, если $$b=12\ \text{см}$$, $$\alpha=42^\circ$$.

Пусть стороны параллелограмма равны $$a$$ и $$b$$, причём $$a-b=1$$. Тогда по условию периметр равен $$50$$ см, значит

$$2(a+b)=50,$$

откуда

$$a+b=25.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=25,\\ a-b=1. \end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем:

$$2a=26,\quad a=13.$$

Тогда

$$b=25-13=12.$$

Так как одна из диагоналей параллелограмма является его высотой, то эта диагональ перпендикулярна одной из сторон. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой диагональю и сторонами параллелограмма. По теореме Пифагора для него:

$$d^2=13^2-12^2=169-144=25,$$

следовательно,

$$d=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5\text{ см}$$.