Упр.595 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь, а прилежащий к нему угол равен а. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и а. б) Найдите их значения, если b = 12 см, а = 42°.

Подробный ответ

Обозначим смежные стороны параллелограмма через $$a$$ и $$b$$, причём $$a-b=1$$. Тогда по условию периметр равен

$$P=2(a+b)=50,$$

откуда

$$a+b=25.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a+b=25,\\ a-b=1. \end{cases} $$

Складываем уравнения:

$$2a=26,\quad a=13.$$

Тогда

$$b=25-13=12.$$

Так как одна из диагоналей параллелограмма является его высотой, то она перпендикулярна одной из сторон. Получаем прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна большей стороне параллелограмма $$13$$ см, а второй катет равен меньшей стороне $$12$$ см.

По теореме Пифагора для искомой диагонали $$d$$:

$$ d^2=13^2-12^2=169-144=25, $$

значит

$$d=5.$$