Упр.594 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Основание $$D$$ высоты $$CD$$ треугольника $$ABC$$ лежит на стороне $$AB$$, причём $$AD=BC$$. Найдите $$AC$$, если $$AB=3$$, а $$CD=\sqrt{3}$$.
2. Задание учебника 2023 года. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $$b$$, а противолежащий угол равен $$\beta$$.
   а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через $$b$$ и $$\beta$$.
   б) Найдите их значения, если $$b=10\text{ см}$$, $$\beta=50^\circ$$.

Обозначим $$AD=BC=x.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$CBD$$ по теореме Пифагора получаем:

$$BC^2=CD^2+DB^2,$$

а так как $$DB=AB-AD=3-x,$$ то

$$x^2=(\sqrt{3})^2+(3-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^2=3+9-6x+x^2,$$

$$12-6x=0,$$

$$x=2.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$:

$$AC^2=AD^2+CD^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7.$$

Следовательно,

$$AC=\sqrt{7}.$$

Ответ: $$\sqrt{7}$$.