Упр.591 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны $$10\ \text{см}$$ и $$24\ \text{см}$$.
- Найдите синус, косинус и тангенс углов $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$, если:
а) $$BC=8$$, $$AB=17$$;
б) $$BC=21$$, $$AC=20$$;
в) $$BC=1$$, $$AC=2$$;
г) $$AC=24$$, $$AB=25$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$.
$$BC=8,\ AB=17$$.
По теореме Пифагора:
$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15.$$
Тогда
$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{15}.$$
Для угла $$B$$:
$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{8}.$$
$$BC=21,\ AC=20$$.
По теореме Пифагора:
$$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29.$$
Тогда
$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{21}{20}.$$
Для угла $$B$$:
$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{20}{21}.$$
$$BC=1,\ AC=2$$.
По теореме Пифагора:
$$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$$
Тогда
$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt5},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac12.$$
Для угла $$B$$:
$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt5},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt5},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=2.$$
$$AC=24,\ AB=25$$.
По теореме Пифагора:
$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{625-576}=\sqrt{49}=7.$$
Тогда
$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{25},\qquad \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{24}{25},\qquad \tg A=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{24}.$$
Для угла $$B$$:
$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{24}{25},\qquad \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{25},\qquad \tg B=\frac{AC}{BC}=\frac{24}{7}.$$
