Упр.590 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите высоты треугольника со сторонами $$10\ \text{см}$$, $$10\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$.
2. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.

Обозначим стороны треугольника так: $$AB=BC=10\text{ см},\quad AC=12\text{ см}.$$ Найдём площадь треугольника по формуле Герона:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16,$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-12)}=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48\text{ см}^2.$$

Теперь выразим высоты через площадь.

К стороне $$BC$$:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AM,$$
$$48=\frac12\cdot 10\cdot AM,$$
$$AM=\frac{48}{5}=9{,}6\text{ см}.$$

К стороне $$AB$$:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CL,$$
$$48=\frac12\cdot 10\cdot CL,$$
$$CL=\frac{48}{5}=9{,}6\text{ см}.$$

К стороне $$AC$$:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BN,$$
$$48=\frac12\cdot 12\cdot BN,$$
$$BN=\frac{48}{6}=8\text{ см}.$$

Ответ: $$AM=9{,}6\text{ см},\; CL=9{,}6\text{ см},\; BN=8\text{ см}.$$