Упр.590 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.

Подробный ответ

Обозначим стороны треугольника: $$AB=BC=10\text{ см},\quad AC=12\text{ см}.$$ Треугольник равнобедренный, поэтому высота $$BN$$, опущенная на основание $$AC$$, является также медианой. Значит, $$AN=NC=6\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABN$$. По теореме Пифагора:

$$BN=\sqrt{AB^2-AN^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ см}.$$

Теперь найдём высоты, опущенные на боковые стороны. Площадь треугольника можно выразить через основание $$AC$$ и высоту $$BN$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BN=\frac12\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

Тогда для высоты $$AM$$, опущенной на сторону $$BC$$, имеем:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AM,$$

$$48=\frac12\cdot 10\cdot AM,$$

$$AM=\frac{48\cdot 2}{10}=9{,}6\text{ см}.$$

Аналогично для высоты $$CL$$, опущенной на сторону $$AB$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CL,$$

$$48=\frac12\cdot 10\cdot CL,$$

$$CL=\frac{48\cdot 2}{10}=9{,}6\text{ см}.$$