Упр.589 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: По данным катетам а и 6 прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) а = 5, 6=12; б) а = 12, 6 = 16. Постройте треугольник ABC по углу А и стороне ВС, если известно, что АВ : АС = 2:1.

Обозначим гипотенузу прямоугольного треугольника через $$c$$, а высоту, опущенную на гипотенузу, через $$CH$$.

Для прямоугольного треугольника площадь можно выразить двумя способами:

$$S=\frac{1}{2}ab$$

и

$$S=\frac{1}{2}c\cdot CH.$$

Отсюда

$$CH=\frac{ab}{c}.$$

а) $$a=5,\ b=12.$$

Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Тогда

$$CH=\frac{ab}{c}=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}=4\frac{8}{13}.$$

б) $$a=12,\ b=16.$$

Найдём гипотенузу:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20.$$

Тогда

$$CH=\frac{ab}{c}=\frac{12\cdot 16}{20}=\frac{192}{20}=9{,}6.$$

Построение треугольника $$ABC$$ по углу $$A$$ и стороне $$BC$$, если известно, что $$AB:AC=2:1$$:

1. На одной стороне угла $$A$$ отложим два равных отрезка произвольной длины, а на другой стороне — один такой же отрезок.
2. Обозначим концы этих отрезков точками $$F$$ и $$E$$.
3. Проведём прямую $$FE$$ и на ней отложим отрезок $$FB_1$$, проходящий через точку $$E$$ и равный $$BC$$.
4. Через точку $$B_1$$ проведём прямую, параллельную $$AF$$; на пересечении с прямой $$AE$$ отметим точку $$C$$.
5. Через точку $$C$$ проведём прямую, параллельную $$FE$$; на пересечении с прямой $$AF$$ отметим точку $$B$$.
6. Соединим точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

Получим искомый треугольник $$ABC$$, причём $$AB:AC=2:1$$.

Ответ

а) $$4\frac{8}{13}$$; б) $$9{,}6$$.