Упр.588 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см. Постройте треугольник ABC по углу А и медиане AM, если известно, что АВ : АС = 2:3.

Подробный ответ

а) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, делит основание пополам. Тогда

$$AH=HC=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$AB^2=AH^2+BH^2=6^2+8^2=36+64=100,$$

откуда

$$AB=10\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

б) Пусть $$BH$$ — высота к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике она является также биссектрисой и медианой, значит

$$\angle ABH=\angle HBC=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ,$$

а также

$$AH=HC=\frac{18}{2}=9\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем

$$\angle A=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Тогда

$$\sin 30^\circ=\frac{BH}{AB}=\frac{1}{2},$$

следовательно,

$$BH=\frac{AB}{2}.$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AH^2+BH^2=9^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2,$$

$$AB^2=81+\frac{AB^2}{4},$$

$$3AB^2=324,$$

$$AB^2=108,$$

$$AB=6\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём высоту:

$$BH=\frac{AB}{2}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

в) Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то его острые углы равны:

$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Высота $$BH$$ к основанию $$AC$$ в равнобедренном треугольнике является медианой, значит

$$AH=HC.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ угол $$\angle A=45^\circ$$, поэтому он равнобедренный, и

$$AH=BH=7\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=AH+HC=7+7=14\text{ см}.$$

Площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 7=49\text{ см}^2.$$

Боковая сторона:

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}\text{ см}.$$

Построение треугольника $$ABC$$ по углу $$A$$ и медиане $$AM$$, если $$AB:AC=2:3$$

Пусть на стороне $$AB$$ отложены 2 равных отрезка, а на стороне $$AC$$ — 3 таких же отрезка. Тогда отношение $$AB:AC=2:3$$ выполняется автоматически.

Построить угол $$A$$.
На одной стороне угла отложить три равных отрезка, на другой — два таких же отрезка.
Соединить концы отложенных отрезков и найти середину соответствующего отрезка, обозначив её $$K$$.
На луче $$AK$$ отложить отрезок $$AM$$, равный данной медиане.
Через точку $$M$$ провести прямую, параллельную прямой, соединяющей отмеченные точки на сторонах угла.
Точки пересечения этой прямой со сторонами угла обозначить $$B$$ и $$C$$.
Соединить точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.