Упр.588 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если:
а) основание равно $$12\ \text{см}$$, а высота, проведённая к основанию, равна $$8\ \text{см}$$;
б) основание равно $$18\ \text{см}$$, а угол, противолежащий основанию, равен $$120^\circ$$;
в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна $$7\ \text{см}$$. - Постройте треугольник $$ABC$$ по углу $$A$$ и медиане $$AM$$, если известно, что $$AB:AC=2:3$$.
а) Пусть $$BH$$ — высота, проведённая к основанию $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$BH$$ является также медианой, значит
$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2=6^2+8^2=36+64=100,$$
откуда
$$AB=10\text{ см}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 12\cdot 8=48\text{ см}^2.$$
б) Пусть $$BH$$ — высота к основанию $$AC$$. В равнобедренном треугольнике она является и биссектрисой, поэтому
$$\angle ABH=\angle HBC=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$
$$\angle A=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
В треугольнике с углами $$30^\circ$$, $$60^\circ$$, $$90^\circ$$ сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы, значит
$$BH=\frac{AB}{2}.$$
Обозначим $$AB=x$$. Тогда $$BH=\frac{x}{2}$$, а также
$$AH=\frac{AC}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ см}.$$
По теореме Пифагора в треугольнике $$ABH$$:
$$x^2=9^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2,$$
$$x^2=81+\frac{x^2}{4},$$
$$\frac{3x^2}{4}=81,$$
$$x^2=108,$$
$$x=6\sqrt3\text{ см}.$$
Тогда
$$BH=\frac{x}{2}=3\sqrt3\text{ см}.$$
Площадь:
$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 18\cdot 3\sqrt3=27\sqrt3\text{ см}^2.$$
в) Треугольник равнобедренный и прямоугольный, значит его острые углы равны:
$$\angle A=\angle C=45^\circ.$$
Высота $$BH$$, проведённая к гипотенузе $$AC$$, в таком треугольнике является также медианой и биссектрисой. Поэтому в треугольнике $$ABH$$
$$\angle ABH=45^\circ,\qquad \angle A=45^\circ,$$
следовательно, $$ABH$$ — равнобедренный и
$$AH=BH=7\text{ см}.$$
Тогда
$$AC=AH+HC=7+7=14\text{ см}.$$
Площадь:
$$S=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 14\cdot 7=49\text{ см}^2.$$
Найдём боковую сторону:
$$AB^2=AH^2+BH^2=7^2+7^2=98,$$
$$AB=7\sqrt2\text{ см}.$$
Ответ
а) $$AB=10\text{ см},\quad S=48\text{ см}^2$$; б) $$AB=6\sqrt3\text{ см},\quad S=27\sqrt3\text{ см}^2$$; в) $$AB=7\sqrt2\text{ см},\quad S=49\text{ см}^2$$.
