Упр.586 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна $$6\ \text{см}$$; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна $$4\ \text{см}$$.
2. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний, $$BH$$ — его высота, $$H \in AC$$.

а)

В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит

$$AH=HC=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$BH^2=AB^2-AH^2=6^2-3^2=36-9=27,$$

$$BH=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

б)

Пусть $$BH=4\text{ см}$$, а $$AH=HC=x$$. Тогда

$$AC=2x,\quad AB=BC=AC=2x.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ имеем:

$$AB^2=AH^2+BH^2,$$

$$(2x)^2=x^2+4^2,$$

$$4x^2=x^2+16,$$

$$3x^2=16,$$

$$x^2=\frac{16}{3},\quad x=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$AB=2x=2\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}.$$

Ответ: а) $$3\sqrt{3}\text{ см}$$; б) $$\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ см}$$.