Упр.584 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В прямоугольнике ABCD найдите: а) AD, если АВ = 5, АС =13; б) ВС, если CD= 1,5, АС = 2,5; в) CD, если BD= 17, ВС= 15. Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам P1Q1 и P2Q2.

Подробный ответ

Используем свойство прямоугольника: его противоположные стороны равны, а диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, составленного из двух сторон прямоугольника.

а) $$AB=CD$$, значит $$CD=5$$. Тогда по теореме Пифагора для треугольника с гипотенузой $$AC$$:

$$AC^2=AB^2+AD^2$$
$$AD^2=AC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144$$
$$AD=12$$

б) $$AB=CD=1{,}5$$. Тогда:

$$AC^2=BC^2+CD^2$$
$$BC^2=AC^2-CD^2=2{,}5^2-1{,}5^2=6{,}25-2{,}25=4$$
$$BC=2$$

в) В прямоугольнике $$BC=AD$$. Рассмотрим треугольник с диагональю $$BD$$:

$$BD^2=BC^2+CD^2$$
$$CD^2=BD^2-BC^2=17^2-15^2=289-225=64$$
$$CD=8$$

Чтобы разделить отрезок $$AB$$ на части $$AX$$ и $$XB$$, пропорциональные данным отрезкам $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$, используем стандартное построение по теореме Фалеса:

Проведём из точки $$A$$ произвольный луч.
На этом луче последовательно отложим отрезки $$AC=P_1Q_1$$ и $$CD=P_2Q_2$$.
Соединим точку $$D$$ с точкой $$B$$.
Через точку $$C$$ проведём прямую, параллельную $$DB$$. Она пересечёт отрезок $$AB$$ в точке $$X$$.

Тогда по теореме Фалеса

$$\frac{AX}{XB}=\frac{AC}{CD}=\frac{P_1Q_1}{P_2Q_2}$$

значит, отрезки $$AX$$ и $$XB$$ действительно пропорциональны данным отрезкам.