Упр.584 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольнике $$ABCD$$ найдите: а) $$AD$$, если $$AB=5$$, $$AC=13$$; б) $$BC$$, если $$CD=1{,}5$$, $$AC=2{,}5$$; в) $$CD$$, если $$BD=17$$, $$BC=15$$.
- Разделите данный отрезок $$AB$$ на два отрезка $$AX$$ и $$XB$$, пропорциональные данным отрезкам $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$.
Обозначим через $$X$$ точку на отрезке $$AB$$, которую нужно построить так, чтобы $$AX$$ и $$XB$$ были пропорциональны данным отрезкам.
Построим произвольный луч $$AM$$. На этом луче последовательно отложим отрезки $$AC$$ и $$CD$$ так, чтобы
$$AC=P_1Q_1,\qquad CD=P_2Q_2.$$
Соединим точки $$D$$ и $$B$$. Через точку $$C$$ проведём прямую, параллельную $$DB$$. Точку её пересечения с отрезком $$AB$$ обозначим через $$X$$.
Тогда треугольники $$ACX$$ и $$ADB$$ подобны, так как
$$\angle ACX=\angle ADB,\qquad \angle AXC=\angle ABD$$
как соответственные углы при параллельных прямых.
Из подобия получаем
$$\frac{AX}{XB}=\frac{AC}{CD}=\frac{P_1Q_1}{P_2Q_2}.$$
Значит, точка $$X$$ делит отрезок $$AB$$ на части, пропорциональные данным отрезкам $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$.
Ответ
Чтобы разделить $$AB$$ на отрезки $$AX$$ и $$XB$$, пропорциональные $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$, нужно на луче отложить отрезки, равные $$P_1Q_1$$ и $$P_2Q_2$$, соединить конец второго с точкой $$B$$ и через конец первого провести прямую, параллельную этой линии; точка пересечения с $$AB$$ и есть искомая точка $$X$$.
