Упр.582 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В прямоугольном треугольнике $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Найдите $$b$$, если:
а) $$a=12$$, $$c=13$$;
б) $$a=7$$, $$c=9$$;
в) $$a=12$$, $$c=2b$$;
г) $$a=2\sqrt{3}$$, $$c=2b$$;
д) $$a=3b$$, $$c=2\sqrt{10}$$.
Для определения расстояния от точки $$A$$ до недоступной точки $$B$$ на местности выбрали точку $$C$$ и измерили отрезок $$AC$$, углы $$\angle BAC$$ и $$\angle ACB$$. Затем построили на бумаге треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$. Найдите $$AB$$, если $$AC=42$$ м, $$A_1C_1=6{,}3$$ см, $$A_1B_1=7{,}2$$ см.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, где $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Тогда по теореме Пифагора

$$a^2+b^2=c^2,$$

откуда

$$b^2=c^2-a^2.$$

Вычислим $$b$$ для каждого случая:

а) $$a=12,\ c=13$$
$$b^2=13^2-12^2=169-144=25,$$
$$b=5.$$
б) $$a=7,\ c=9$$
$$b^2=9^2-7^2=81-49=32,$$
$$b=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.$$
в) $$a=12,\ c=2b$$
$$12^2+b^2=(2b)^2,$$
$$144+b^2=4b^2,$$
$$3b^2=144,$$
$$b^2=48,\quad b=4\sqrt{3}.$$
г) $$a=2\sqrt{3},\ c=2b$$
$$\left(2\sqrt{3}\right)^2+b^2=(2b)^2,$$
$$12+b^2=4b^2,$$
$$3b^2=12,$$
$$b^2=4,\quad b=2.$$
д) $$a=3b,\ c=2\sqrt{10}$$
$$\left(3b\right)^2+b^2=\left(2\sqrt{10}\right)^2,$$
$$9b^2+b^2=40,$$
$$10b^2=40,$$
$$b^2=4,\quad b=2.$$