Упр.580 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Тупой угол равнобедренной трапеции равен $$135^\circ$$, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки $$1{,}4\ \text{см}$$ и $$3{,}4\ \text{см}$$. Найдите площадь трапеции.
2. Длина тени дерева равна $$10{,}2\ \text{м}$$, а длина тени человека, рост которого $$1{,}7\ \text{м}$$, равна $$2{,}5\ \text{м}$$. Найдите высоту дерева.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD$$ — большее основание, $$BC$$ — меньшее основание, $$BH$$ — высота, проведённая из вершины тупого угла $$\angle ABC=135^\circ$$, причём $$AH=1{,}4$$ см, $$HD=3{,}4$$ см.

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$, а углы при основании равны: $$\angle A=\angle D$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle BHA$$ и $$\triangle CED$$. У них:

• $$\angle BHA=\angle CED=90^\circ$$;
• $$AB=CD$$;
• $$\angle A=\angle D$$.

Следовательно, $$\triangle BHA \cong \triangle CED$$, значит $$AH=ED=1{,}4$$ см.

Тогда

$$HE=HD-ED=3{,}4-1{,}4=2$$ см.

Но $$HE=BC$$, значит $$BC=2$$ см.

Теперь найдём угол $$\angle ABH$$:

$$\angle ABC=\angle ABH+\angle HBC,$$

а так как $$BH$$ — высота, то $$\angle HBC=90^\circ$$. Тогда

$$\angle ABH=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ABH$$ имеем $$\angle A=45^\circ$$, значит треугольник равнобедренный, и

$$BH=AH=1{,}4$$ см.

Площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH$$

Причём

$$AD=AH+HE+ED=1{,}4+2+1{,}4=4{,}8$$ см.

Тогда

$$S=\frac{1}{2}(4{,}8+2)\cdot 1{,}4=\frac{1}{2}\cdot 6{,}8\cdot 1{,}4=4{,}76\ \text{см}^2.$$

Ответ

$$4{,}76\ \text{см}^2$$