Упр.578 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 21 см, CD =17 см, высота ВH равна 7 см; б) угол D = 30°, АВ = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см; в) ВС перпендикулярен АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см. Используя утверждение 2°, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С выполняется равенство АС2 + ВС2 = АВ2.
а) Площадь трапеции равна
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot BH.$$
Подставим данные:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(21+17)\cdot 7=\frac{1}{2}\cdot 38\cdot 7=19\cdot 7=133\text{ см}^2.$$
б) Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AE$ на основание $CD$. Тогда $AE$ — высота трапеции.
В прямоугольном треугольнике $AED$ угол $D=30^\circ$, а гипотенуза $AD=8$ см, значит
$$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$$
Теперь найдём площадь трапеции:
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot AE=\frac{1}{2}(2+10)\cdot 4=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 4=24\text{ см}^2.$$
в) Так как $BC\perp AB$, то $BC$ — высота трапеции.
Тогда
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot BC=\frac{1}{2}(5+13)\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 8=72\text{ см}^2.$$
Ответ
а) $133\text{ см}^2$; б) $24\text{ см}^2$; в) $72\text{ см}^2$.
Ход решения
Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ из вершины $C$ опущена высота $CD$ на гипотенузу $AB$.
По утверждению 2° пункта 65 имеем:
$$AC=\sqrt{AB\cdot AD}, \qquad BC=\sqrt{AB\cdot BD}.$$
Возведём эти равенства в квадрат:
$$AC^2=AB\cdot AD,$$
$$BC^2=AB\cdot BD.$$
Сложим полученные равенства:
$$AC^2+BC^2=AB\cdot AD+AB\cdot BD=AB(AD+BD).$$
Так как $AD+BD=AB$, то
$$AC^2+BC^2=AB\cdot AB=AB^2.$$
Что и требовалось доказать.
