Упр.576 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6:5.
Обозначим точку пересечения диагоналей четырёхугольника через $$O$$. Тогда диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны, значит четырёхугольник разбивается на четыре прямоугольных треугольника: $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$.
Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей этих треугольников:
$$ S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA} $$
Так как в каждом из них один катет лежит на одной диагонали, а другой — на другой, получаем:
$$ S_{ABCD}=\frac12 AO\cdot BO+\frac12 BO\cdot OC+\frac12 OC\cdot OD+\frac12 OD\cdot AO $$
Сгруппируем слагаемые:
$$ S_{ABCD}=\frac12 AO(BO+OD)+\frac12 OC(BO+OD) $$
Так как $$BO+OD=BD$$, то
$$ S_{ABCD}=\frac12 AO\cdot BD+\frac12 OC\cdot BD $$
$$ S_{ABCD}=\frac12 BD(AO+OC) $$
Но $$AO+OC=AC$$, значит
$$ S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD $$
что и требовалось доказать.
Теперь решим вторую задачу. Пусть $$HB=x$$ см, тогда $$AH=x+11$$ см.
Для прямоугольного треугольника с высотой, проведённой из прямого угла к гипотенузе, верно:
$$ BC^2=AB\cdot HB,\qquad AC^2=AB\cdot AH $$
Так как $$AC:BC=6:5$$, положим $$AC=6k$$, $$BC=5k$$. Тогда
$$ \frac{AC^2}{AH}=\frac{BC^2}{HB} $$
Подставим $$AH=x+11$$, $$HB=x$$:
$$ \frac{36k^2}{x+11}=\frac{25k^2}{x} $$
Сократим на $$k^2$$:
$$ \frac{36}{x+11}=\frac{25}{x} $$
Перемножим крест-накрест:
$$ 36x=25(x+11) $$
$$ 36x=25x+275 $$
$$ 11x=275 $$
$$ x=25 $$
Тогда
$$ AH=25+11=36\text{ см} $$
А гипотенуза равна сумме отрезков:
$$ AB=AH+HB=36+25=61\text{ см} $$
Ответ
$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD$$; $$AB=61\text{ см}$$.
