Упр.575 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см2. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

1) Найдём диагонали ромба.

Площадь ромба выражается через диагонали формулой

$$S=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$

Пусть меньшая диагональ равна $$x$$, тогда большая равна $$1{,}5x$$. По условию $$S=27\text{ см}^2$$, значит

$$\frac{x\cdot 1{,}5x}{2}=27.$$

Отсюда

$$1{,}5x^2=54,$$

$$x^2=36,$$

$$x=6\text{ см}.$$

Тогда большая диагональ

$$1{,}5\cdot 6=9\text{ см}.$$

Следовательно, диагонали ромба равны $$6\text{ см}$$ и $$9\text{ см}$$.

2) Найдём отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Катеты прямоугольного треугольника относятся как $$3:4$$, значит пусть они равны $$3x$$ и $$4x$$. По теореме Пифагора:

$$ (3x)^2+(4x)^2=50^2 $$

$$ 9x^2+16x^2=2500 $$

$$ 25x^2=2500,\quad x=10\text{ мм}. $$

Тогда катеты равны $$30\text{ мм}$$ и $$40\text{ мм}$$.

Если высота из прямого угла делит гипотенузу на отрезки $$AD$$ и $$BD$$, то

$$AD=\frac{AC^2}{AB},\qquad BD=\frac{BC^2}{AB}.$$

Подставим значения:

$$ AD=\frac{30^2}{50}=\frac{900}{50}=18\text{ мм}, $$

$$ BD=\frac{40^2}{50}=\frac{1600}{50}=32\text{ мм}. $$

Ответ

$$AC=6\text{ см},\ BD=9\text{ см};\ AD=18\text{ мм},\ BD=32\text{ мм}.$$