Упр.572 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой. Найдите: а) h, а и b, если bс = 25, ас = 16; б) h, а и b, если bс = 36, ас = 64; в) а, с и ас, если b=12, bс = 6; г) b, с и bс, если а= 8, ас = 4; д) h, b, ас и bс, если а = 6, с = 9.
Обозначим через $$H$$ основание высоты $$CH$$, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу $$AB$$. Тогда $$AH=b_c$$, $$HB=a_c$$, $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$.
Для прямоугольного треугольника верны соотношения:
$$h^2=a_c\cdot b_c,$$
$$a^2=c\cdot a_c,$$
$$b^2=c\cdot b_c,$$
$$c=a_c+b_c.$$
а) $$b_c=25,\ a_c=16.$$
$$h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{25\cdot 16}=20.$$
$$c=a_c+b_c=16+25=41.$$
$$b=\sqrt{c\cdot b_c}=\sqrt{41\cdot 25}=5\sqrt{41}.$$
$$a=\sqrt{c\cdot a_c}=\sqrt{41\cdot 16}=4\sqrt{41}.$$
б) $$b_c=36,\ a_c=64.$$
$$h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{64\cdot 36}=48.$$
$$c=a_c+b_c=64+36=100.$$
$$a=\sqrt{c\cdot a_c}=\sqrt{100\cdot 64}=80.$$
$$b=\sqrt{c\cdot b_c}=\sqrt{100\cdot 36}=60.$$
в) $$b=12,\ b_c=6.$$
$$b^2=c\cdot b_c \Rightarrow c=\frac{b^2}{b_c}=\frac{144}{6}=24.$$
$$a_c=c-b_c=24-6=18.$$
$$a=\sqrt{c\cdot a_c}=\sqrt{24\cdot 18}=\sqrt{6\cdot 4\cdot 3\cdot 6}=12\sqrt{3}.$$
г) $$a=8,\ a_c=4.$$
$$a^2=c\cdot a_c \Rightarrow c=\frac{a^2}{a_c}=\frac{64}{4}=16.$$
$$b_c=c-a_c=16-4=12.$$
$$b=\sqrt{c\cdot b_c}=\sqrt{16\cdot 12}=8\sqrt{3}.$$
д) $$a=6,\ c=9.$$
$$a^2=c\cdot a_c \Rightarrow a_c=\frac{a^2}{c}=\frac{36}{9}=4.$$
$$b^2=c^2-a^2=81-36=45,\quad b=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.$$
$$b_c=c-a_c=9-4=5.$$
$$h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}.$$
Ответ
а) $$h=20,\ a=4\sqrt{41},\ b=5\sqrt{41}.$$
б) $$h=48,\ a=80,\ b=60.$$
в) $$a=12\sqrt{3},\ c=24,\ a_c=18.$$
г) $$b=8\sqrt{3},\ c=16,\ b_c=12.$$
д) $$h=2\sqrt{5},\ b=3\sqrt{5},\ a_c=4,\ b_c=5.$$
