Упр.571 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади. В треугольнике ABC медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника АВО равна S.

Подробный ответ

1) Пусть $$CH$$ и $$DE$$ — перпендикуляры, опущенные из точек $$C$$ и $$D$$ на прямую $$AB$$. Тогда

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CH,$$

$$S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot DE.$$

2) Так как $$AB \parallel m$$, а точки $$C$$ и $$D$$ лежат на прямой $$m$$, то расстояния от точек $$C$$ и $$D$$ до прямой $$AB$$ равны. Значит,

$$CH=DE.$$

3) Следовательно,

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot CH=\frac12\cdot AB\cdot DE=S_{ABD}.$$

Значит, все треугольники с вершинами на прямой $$m$$ и основанием $$AB$$ имеют равные площади.

4) В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{BO}{OB_1}=2.$$

Площадь треугольников с общей высотой к одной и той же прямой пропорциональна их основаниям. Тогда

$$\frac{S_{AOB}}{S_{AOA_1}}=\frac{BO}{OA_1}=2,$$

откуда

$$S_{AOA_1}=\frac{S}{2}.$$

Аналогично

$$\frac{S_{AOB}}{S_{AOB_1}}=\frac{AO}{OB_1}=2,$$

значит

$$S_{AOB_1}=\frac{S}{2}.$$

Так как $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$, то $$A_1B_1 \parallel AB$$, и треугольники $$ABA_1$$ и $$A_1AC$$ равновелики. Следовательно,

$$S_{ABA_1}=S_{AA_1C}.$$

Кроме того,

$$S_{ABA_1}=S_{AOB}+S_{AOB_1}=S+\frac{S}{2}=\frac{3S}{2}.$$

Тогда

$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{AA_1C}=\frac{3S}{2}+\frac{3S}{2}=3S.$$