Упр.571 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через вершину $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведена прямая $$m$$, параллельная стороне $$AB$$. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой $$m$$ и основанием $$AB$$ имеют равные площади.
В треугольнике $$ABC$$ медианы $$AA_1$$ и $$BB_1$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площадь треугольника $$ABO$$ равна $$S$$.

Подробный ответ

Пусть $$S_{ABC}=x.$$ Точка $$O$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$AOB_1$$. Так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы, то $$O$$ делит каждую медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому

$$\frac{AO}{OA_1}=\frac{BO}{OB_1}=2.$$

Треугольники $$ABO$$ и $$AOB_1$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BB_1$$, поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{ABO}}{S_{AOB_1}}=\frac{BO}{OB_1}=2.$$

Так как $$S_{ABO}=S,$$ то

$$S_{AOB_1}=\frac{S}{2}.$$

Аналогично для треугольников $$AOB$$ и $$AOB_1$$ получаем

$$\frac{S_{AOB}}{S_{AOB_1}}=\frac{BO}{OB_1}=2,$$

значит

$$S_{AOB_1}=\frac{S}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AA_1C$$. Поскольку $$AA_1$$ — медиана, то $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$, следовательно, треугольники $$ABA_1$$ и $$ACA_1$$ равновелики:

$$S_{ABA_1}=S_{AA_1C}.$$

Кроме того,

$$S_{ABA_1}=S_{AOB}+S_{AOB_1}=S+\frac{S}{2}=\frac{3S}{2}.$$

Тогда

$$S_{AA_1C}=\frac{3S}{2}.$$

Искомая площадь треугольника:

$$S_{ABC}=S_{ABA_1}+S_{AA_1C}=\frac{3S}{2}+\frac{3S}{2}=3S.$$