Упр.570 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольник $$ABC$$ вписана окружность радиуса $$3\ \text{см}$$, которая касается сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ в точках $$P$$, $$Q$$ и $$R$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$AP=5\ \text{см}$$, $$BQ=5\ \text{см}$$, $$CR=6\ \text{см}$$.
2. Диагональ $$AC$$ параллелограмма $$ABCD$$ равна $$18\ \text{см}$$. Середина $$M$$ стороны $$AB$$ соединена с вершиной $$D$$. Найдите отрезки, на которые делится диагональ $$AC$$ отрезком $$DM$$.

Так как окружность касается сторон треугольника, то от одной вершины к точкам касания проведены равные отрезки:

$$AP=AR=5\text{ см},\quad BP=BQ=5\text{ см},\quad CQ=CR=6\text{ см}.$$

Тогда стороны треугольника равны:

$$AB=AP+BP=5+5=10\text{ см},$$

$$BC=BQ+CQ=5+6=11\text{ см},$$

$$CA=CR+AR=6+5=11\text{ см}.$$

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности выражается формулой

$$S=\frac{a+b+c}{2}\cdot r,$$

где $$a,b,c$$ — стороны треугольника, $$r=3\text{ см}$$.

Подставим значения:

$$S_{ABC}=\frac{10+11+11}{2}\cdot 3=\frac{32}{2}\cdot 3=48\text{ см}^2.$$

Ответ: $$48\text{ см}^2$$.