Упр.569 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

а) r, если P=56, S=84;
P=56, S=84;
S=(a+b+c)/2•r=1/2•Pr;
r=2S/P=2•84/56=84/28=3;
Ответ: 3.
б) S, если P=144, r=3,5;
P=144, r=3,5;
S=(a+b+c)/2•r=1/2•Pr;
S=1/2•(144•3,5)=252;
Ответ: 252.
в) a, если b=15, c=20, r=2, S=42.
b=15, c=20, r=2, S=42;
S=(a+b+c)/2•r=1/2•Pr, P=2S/r;
P=2•42/2=42, a+b+c=42;
a+15+20=42, a=7;
Ответ: 7. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Подробный ответ

Обозначим основания трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а отрезок, соединяющий середины диагоналей, — через $$MN$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую, параллельную основаниям трапеции, и обозначим её пересечения с диагоналями через $$F$$ и $$N$$. Тогда $$MF \parallel AD$$.

Так как $$AM = MC$$, то точка $$M$$ — середина диагонали $$AC$$. В треугольнике $$ACD$$ прямая, проходящая через середину стороны $$AC$$ и параллельная стороне $$AD$$, пересекает сторону $$CD$$ в её середине. Значит, $$CF = FD$$, то есть $$F$$ — середина стороны $$CD$$.

Аналогично, из $$BN = ND$$ следует, что $$N$$ — середина стороны $$BD$$.

Следовательно, $$MF$$ — средняя линия треугольника $$ACD$$, а значит

$$MF=\frac{1}{2}AD.$$

Точно так же $$NF$$ — средняя линия треугольника $$BCD$$, поэтому

$$NF=\frac{1}{2}BC.$$

Так как точки $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой, параллельной основаниям, то

$$MN=MF-NF=\frac{1}{2}AD-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AD-BC).$$

Значит, $$MN \parallel AD$$ и

$$MN=\frac{1}{2}(AD-BC).$$