Упр.567 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) $$4\ \text{см}$$ и $$11\ \text{см}$$; б) $$1{,}2\ \text{дм}$$ и $$3\ \text{дм}$$.
2. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$. Обозначим середины его сторон через $$M$$, $$N$$, $$K$$ и $$E$$ так, что $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, а $$K$$ и $$E$$ — середины сторон $$CD$$ и $$DA$$.

Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ соединяет середины двух сторон, значит, это средняя линия треугольника. Следовательно,

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.$$

Аналогично, в треугольнике $$ADC$$ отрезок $$KE$$ соединяет середины двух сторон, значит,

$$KE \parallel AC,\qquad KE=\frac12 AC.$$

Из равенств $$MN \parallel AC$$ и $$KE \parallel AC$$ следует, что $$MN \parallel KE$$. Кроме того,

$$MN=KE=\frac12 AC.$$

Итак, в четырёхугольнике $$MNKE$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна. Значит, $$MNKE$$ — параллелограмм.

Ответ

Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.