Упр.563 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур. Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение AK/KC если: а) М — середина отрезка AD; б) AM/MD=1/2

Подробный ответ

а) Пусть через точку $$M$$ и вершину $$B$$ проведена прямая, пересекающая $$AC$$ в точке $$K$$. Дополнительно построим прямую $$DN$$ так, что $$BK \parallel DN$$.

Рассмотрим треугольники $$AKM$$ и $$AND$$. У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle AKM = \angle AND$$ как соответственные при $$BK \parallel DN$$. Значит,

$$\triangle AKM \sim \triangle AND.$$

Так как $$M$$ — середина отрезка $$AD$$, то $$AM = MD$$, следовательно, $$AD = 2AM$$. Из подобия получаем

$$\frac{AK}{AN}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CND$$ и $$CKB$$. У них $$\angle C$$ — общий, а $$\angle CND = \angle CKB$$ как соответственные при $$BK \parallel DN$$. Значит,

$$\triangle CND \sim \triangle CKB.$$

Так как $$AD$$ — медиана, то $$CD = DB$$, а из построения $$BK \parallel DN$$ следует, что $$N$$ — середина отрезка $$CK$$. Поэтому

$$CN = NK,$$

и, следовательно,

$$CK = CN + NK = 2CN.$$

Из подобия треугольников $$CND$$ и $$CKB$$ получаем

$$\frac{CN}{CK}=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$AK = CN,\qquad KC = 2CN,$$

откуда

$$\frac{AK}{KC}=\frac{1}{2}.$$

б) Теперь $$\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{1}{2}$$, значит

$$AM:MD=1:2,$$

то есть

$$AD=AM+MD=3AM.$$

Снова рассмотрим треугольники $$AKM$$ и $$AND$$. Они подобны, так как $$\angle A$$ — общий, а $$\angle AKM = \angle AND$$. Тогда

$$\frac{AK}{AN}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}.$$

Следовательно,

$$AK=\frac{1}{3}AN.$$

Из построения $$BK \parallel DN$$ и подобия треугольников $$CND$$ и $$CKB$$ получаем, что $$N$$ — середина $$CK$$, то есть

$$CN = NK.$$

Тогда

$$CK = CN + NK = 2CN.$$

Кроме того, из подобия треугольников $$AKM$$ и $$AND$$ при отношении $$AM:AD=1:3$$ имеем, что точка $$K$$ делит отрезок $$AN$$ в отношении $$1:2$$, то есть

$$KN = 2AK.$$

Тогда

$$CN = NK = 2AK,$$

а значит

$$KC = CN + NK = 4AK.$$

Следовательно,

$$\frac{AK}{KC}=\frac{1}{4}.$$