Упр.560 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Пусть а и b — смежные стороны параллелограмма, S — площадь, a h1 и h2 — его высоты. Найдите: a) h2, если а = 18 см, b = 30 см, h1 = 6 см, h2>h1; б) h1, если а =10 см, b=15см, h2 = 6 см, h2 >h1; в) h1 и h2, если S = 54 см2, а = 4,5 см, b = 6 см. Подобны ли треугольники ABC и А1B1C1 если: а) АВ = 3см, ВС = 5 см, СА = 7 см, А1В1 = 4,5 см, B1C1 = 7,5 см, С1А1 = 10,5 см; б) АВ = 1,7 см, ВС = 3см, СА = 4,2 см, А1В1 = 34 дм, В1С1 = 60 дм, C1A1 =84 дм?

Подробный ответ

Площадь параллелограмма можно выразить через любую из его смежных сторон и соответствующую высоту:

$$S=a\cdot h_1=b\cdot h_2.$$

1) Найдём $$h_2$$, если $$a=18$$ см, $$b=30$$ см, $$h_1=6$$ см.

Из формулы площади:

$$a\cdot h_1=b\cdot h_2.$$

Подставим данные:

$$18\cdot 6=30\cdot h_2.$$

Тогда

$$h_2=\frac{18\cdot 6}{30}=10\text{ см}.$$

2) Найдём $$h_1$$, если $$a=10$$ см, $$b=15$$ см, $$h_2=6$$ см.

Снова используем формулу площади:

$$a\cdot h_1=b\cdot h_2.$$

Подставим значения:

$$10\cdot h_1=15\cdot 6.$$

Тогда

$$h_1=\frac{15\cdot 6}{10}=9\text{ см}.$$

3) Найдём $$h_1$$ и $$h_2$$, если $$S=54\text{ см}^2$$, $$a=4{,}5$$ см, $$b=6$$ см.

По формуле площади:

$$S=a\cdot h_1=b\cdot h_2.$$

Тогда

$$h_1=\frac{S}{a}=\frac{54}{4{,}5}=12\text{ см},$$

$$h_2=\frac{S}{b}=\frac{54}{6}=9\text{ см}.$$

4) Проверим подобие треугольников по трём сторонам.

а) $$AB=3$$ см, $$BC=5$$ см, $$CA=7$$ см; $$A_1B_1=4{,}5$$ см, $$B_1C_1=7{,}5$$ см, $$C_1A_1=10{,}5$$ см.

Найдём отношения соответствующих сторон:

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{5}{7{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{7}{10{,}5}=\frac{2}{3}.$$

Все три отношения равны, значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

по трём сторонам.

б) $$AB=1{,}7$$ см, $$BC=3$$ см, $$CA=4{,}2$$ см; $$A_1B_1=34$$ дм, $$B_1C_1=60$$ дм, $$C_1A_1=84$$ дм.

Переведём длины в одинаковые единицы: $$34$$ дм $$=340$$ см, $$60$$ дм $$=600$$ см, $$84$$ дм $$=840$$ см.

Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1{,}7}{340}=\frac{1}{200},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{3}{600}=\frac{1}{200},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{4{,}2}{840}=\frac{1}{200}.$$

Следовательно,

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

по трём сторонам.