Упр.553 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
Площадь прямоугольника равна
$$S=8\cdot 18=144\text{ м}^2.$$
Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда
$$a^2=144,$$
откуда
$$a=12\text{ м}.$$
Рассмотрим равнобедренные треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$.
а) Если у них равны острые углы, то в равнобедренном треугольнике равны и углы при основании. Значит, у треугольников попарно равны два угла, следовательно,
$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$
по двум углам.
б) Если равны тупые углы, то равны и углы при основании каждого треугольника, так как
$$\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B,$$
$$\angle A_1+\angle C_1=180^\circ-\angle B_1.$$
Поскольку $$\angle A=\angle C$$ и $$\angle A_1=\angle C_1$$, то
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-\angle B}{2},$$
$$\angle A_1=\angle C_1=\frac{180^\circ-\angle B_1}{2}.$$
Из условия $$\angle B=\angle B_1$$, значит, $$\angle A=\angle A_1$$ и $$\angle C=\angle C_1$$. Следовательно,
$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$
по двум углам.
в) Если равны прямые углы, то
$$\angle B=\angle B_1=90^\circ.$$
Тогда в каждом равнобедренном треугольнике углы при основании равны и в сумме дают
$$180^\circ-90^\circ=90^\circ,$$
значит,
$$\angle A=\angle C=45^\circ,\qquad \angle A_1=\angle C_1=45^\circ.$$
Следовательно, треугольники подобны по двум углам:
$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$
Ответ: сторона квадрата $$12\text{ м}$$; во всех трёх случаях равнобедренные треугольники подобны.
