Упр.544 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD = SADE. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$E$$ на прямую $$MN$$. Тогда $$EH \perp MN$$, а так как точки $$M$$ и $$N$$ лежат на прямой $$BC$$, то $$MN \parallel BC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$MEH$$. Имеем:

$$AM = ME$$ по условию;
$$\angle BMA = \angle EMH$$ как вертикальные;
$$\angle ABM = \angle MEH = 90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle MEH$$ по гипотенузе и острому углу. Значит, $$AB = EH$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$EHN$$ и $$DCN$$. Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AB = CD$$. Кроме того, $$EH \perp MN$$ и $$MN \parallel BC$$, значит $$EH \perp BC$$, откуда $$\angle EHN = \angle CDN = 90^\circ$$. Также $$\angle ENH = \angle CND$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$MN$$ и $$BC$$.

Следовательно, $$\triangle EHN \cong \triangle DCN$$ по катету и прилежащему острому углу. Тогда $$EH = CD$$.

Из равенств $$AB = EH$$ и $$EH = CD$$ получаем $$AB = CD$$. В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC,$$

а площадь треугольника $$ADE$$ можно представить как сумму площадей треугольников $$ABM$$, $$MEH$$, $$EHN$$ и $$DCN$$. По равенствам соответствующих треугольников получаем, что эти части попарно равны, значит

$$S_{ADE}=S_{ABCD}.$$

Для второй задачи используем свойство площадей подобных треугольников:

$$\frac{S_1}{S_2}=k^2,$$

где $$k$$ — коэффициент подобия.

Тогда

$$\frac{75}{300}=k^2,$$

$$k^2=\frac14,\qquad k=\frac12.$$

Сходственные стороны относятся как $$k$$, значит искомая сторона первого треугольника равна

$$9\cdot \frac12=4{,}5\text{ м}.$$