Упр.543 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Начертите параллелограмм $$ABCD$$ и отметьте точку $$M$$, симметричную точке $$D$$ относительно точки $$C$$. Докажите, что $$S_{ABCD}=S_{AMD}$$.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Пусть точка $$O$$ — середина отрезка $$CM$$. Тогда по условию $$CO=OM.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB\parallel CD,\quad AB=CD.$$

Точки $$C$$, $$D$$, $$M$$ лежат на одной прямой, поэтому $$CD\parallel CM.$$ Следовательно, $$AB\parallel CM.$$

Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$MCO$$.

У них:

• $$\angle ABO=\angle MCO$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CM$$ и секущей $$BC$$;
• $$\angle BAO=\angle CMO$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CM$$ и секущей $$AM$$;
• $$AB=MC$$, так как $$AB=CD,\quad MC=CD.$$

Значит, $$\triangle ABO \cong \triangle MCO$$ по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда

$$S_{ABO}=S_{MCO}.$$

Теперь

$$S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{AODC},$$

$$S_{AMD}=S_{MOC}+S_{AODC}.$$

Так как $$S_{ABO}=S_{MCO},$$ то

$$S_{ABCD}=S_{AMD}.$$

Ответ: $$S_{ABCD}=S_{AMD}.$$