Упр.543 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что SABCD = SAMD. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Подробный ответ

Пусть точка $O$ — середина отрезка $CM$. Тогда, так как точка $M$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$, имеем $$C,D,M$$ лежат на одной прямой и $$CD=CM.$$

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны и параллельны, значит

$$AB\parallel CD,\qquad AB=CD.$$

Так как точки $C,D,M$ коллинеарны, то $$AB\parallel CM.$$ Кроме того, $$AB=CD=CM.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $ABMC$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит $$ABMC$$ — параллелограмм. Тогда его диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника:

$$S_{ABC}=S_{AMC}.$$

Но треугольник $AMC$ состоит из треугольников $ACD$ и $ADM$, поэтому

$$S_{AMC}=S_{ACD}+S_{ADM}.$$

С другой стороны, диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на треугольники $ABC$ и $ACD$, значит

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Подставляя $S_{ABC}=S_{AMC}$, получаем

$$S_{ABCD}=S_{AMC}+S_{ACD}=(S_{ACD}+S_{ADM})+S_{ACD}.$$

Из равенства площадей треугольников $ABC$ и $AMC$ следует, что соответствующие высоты, проведённые к равным основаниям, равны. В общем виде для подобных треугольников отношение сходственных сторон равно отношению высот, проведённых к этим сторонам. Действительно, если $$\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C_1,$$ то

$$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=k^2,$$

где $k$ — коэффициент подобия. Обозначим высоты, проведённые к сходственным сторонам $AB$ и $A_1B_1$, через $h$ и $h_1$. Тогда

$$S_{ABC}=\frac12 AB\cdot h,\qquad S_{A_1B_1C_1}=\frac12 A_1B_1\cdot h_1.$$

Подставим в формулу отношения площадей:

$$ \frac{\frac12 AB\cdot h}{\frac12 A_1B_1\cdot h_1}=k^2 $$

откуда

$$ \frac{AB}{A_1B_1}\cdot \frac{h}{h_1}=k^2. $$

Но $$\frac{AB}{A_1B_1}=k,$$ значит

$$k\cdot \frac{h}{h_1}=k^2,$$

следовательно,

$$\frac{h}{h_1}=k=\frac{AB}{A_1B_1}.$$

То есть отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.