Упр.540 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.
Периметр треугольника $$CDE$$ равен $$55\text{ см}$$. В этот треугольник вписан ромб $$DMFN$$ так, что вершины $$M$$, $$F$$ и $$N$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$, $$CE$$ и $$DE$$. Найдите стороны $$CD$$ и $$DE$$, если $$CF=8\text{ см}$$, $$EF=12\text{ см}$$.

Подробный ответ

Так как четырёхугольник $$DMFN$$ — ромб, то его диагональ $$DF$$ является биссектрисой угла при вершине $$D$$. Поэтому

$$\angle MDF=\angle FDN.$$

Точки $$M$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$ и $$CE$$, значит луч $$DF$$ делит угол $$CDE$$ так, что треугольники $$CDF$$ и $$FDE$$ имеют общую высоту из точки $$F$$ к прямой $$DE$$ и одинаковые углы при $$D$$. Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{CD}{DE}=\frac{CF}{FE}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Отсюда

$$CD=\frac{2}{3}DE.$$

Кроме того,

$$CE=CF+FE=8+12=20\text{ см}.$$

По периметру треугольника $$CDE$$:

$$CD+DE+CE=55,$$

значит

$$CD+DE=55-20=35.$$

Подставим $$CD=\frac{2}{3}DE$$:

$$\frac{2}{3}DE+DE=35,$$

$$\frac{5}{3}DE=35,$$