Упр.538 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.
2. Биссектриса $$AD$$ треугольника $$ABC$$ делит сторону $$BC$$ на отрезки $$CD$$ и $$BD$$, равные соответственно $$4{,}5\ \text{см}$$ и $$13{,}5\ \text{см}$$. Найдите $$AB$$ и $$AC$$, если периметр треугольника $$ABC$$ равен $$42\ \text{см}$$.

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$ треугольника $$ABC$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Найдём сначала сторону $$BC$$:

$$BC=BD+DC=13{,}5+4{,}5=18\text{ см}.$$

По периметру треугольника:

$$AB+AC=P_{ABC}-BC=42-18=24\text{ см}.$$

Из отношения

$$\frac{BD}{DC}=\frac{13{,}5}{4{,}5}=3$$

получаем

$$\frac{AB}{AC}=3,$$

то есть $$AB=3AC.$$

Тогда

$$3AC+AC=24,$$

$$4AC=24,$$

$$AC=6\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AB=3\cdot 6=18\text{ см}.$$

Ответ

$$AB=18\text{ см},\quad AC=6\text{ см}.$$