Упр.535 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ в точке $$D$$, причём $$\angle 1=\angle 2$$.

Проведём высоту $$AH$$ к прямой $$BC$$. Тогда $$AH$$ — общая высота для треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$, поэтому

$$S_{ABD}=\frac{BD\cdot AH}{2}, \qquad S_{ACD}=\frac{CD\cdot AH}{2}.$$

С другой стороны, так как $$\angle 1=\angle 2$$, то треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют равные углы при вершине $$A$$, а значит, их площади можно выразить через две стороны и синус угла между ними:

$$S_{ABD}=\frac{AB\cdot AD\cdot \sin \angle BAD}{2}, \qquad S_{ACD}=\frac{AC\cdot AD\cdot \sin \angle DAC}{2}.$$

Поскольку $$\angle BAD=\angle DAC$$, получаем

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}.$$

Но из выражений через высоту также имеем

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}.$$

Следовательно,

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$$

Перемножая крест-накрест, получаем

$$AB\cdot CD=AC\cdot BD,$$

откуда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}.$$

Что и требовалось доказать.