Упр.535 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

1) Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, $$M$$ и $$N$$ — середины оснований, причём $$\angle A+\angle D=90^\circ$$.

Проведём через точку $$N$$ прямые $$NE \parallel AB$$ и $$NF \parallel CD$$, где $$E, F \in AD$$.

Тогда четырёхугольники $$ABNE$$ и $$NCDF$$ — параллелограммы, значит

$$BN=AE,\qquad NC=FD.$$

Так как $$M$$ — середина $$AD$$, то

$$AM=MD.$$

Но

$$AM=AE+EM,\qquad MD=FD+MF.$$

Следовательно,

$$AE+EM=FD+MF.$$

С учётом $$AE=BN$$ и $$FD=NC$$ получаем

$$BN+EM=NC+MF.$$

По условию $$BN=NC$$, значит

$$EM=MF,$$

то есть $$M$$ — середина отрезка $$EF$$. Следовательно, $$NM$$ — медиана треугольника $$ENF$$.

Кроме того, из параллельности получаем

$$\angle E=\angle A,\qquad \angle F=\angle D.$$

Тогда

$$\angle E+\angle F=\angle A+\angle D=90^\circ,$$

значит, $$\angle ENF=90^\circ$$ и треугольник $$ENF$$ прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому

$$NM=\frac12 EF.$$

Найдём $$EF$$:

$$EF=AD-(AE+FD).$$

Так как $$AE=BN$$ и $$FD=NC$$, то

$$EF=AD-(BN+NC)=AD-BC.$$

Следовательно,

$$MN=\frac12(AD-BC).$$

2) Биссектриса треугольника

Пусть в треугольнике $$ABC$$ биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$D$$. Тогда $$\angle 1=\angle 2$$.

Рассмотрим площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$. У них общая высота, опущенная из $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}.$$

С другой стороны, по формуле площади через две стороны и угол между ними:

$$S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot \sin\angle 1,$$

$$S_{ACD}=\frac12 AC\cdot AD\cdot \sin\angle 2.$$

Так как $$\angle 1=\angle 2$$, то

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}.$$

Следовательно,

$$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC},$$

откуда

$$BD:CD=AB:AC.$$

Ответ

$$MN=\frac12(AD-BC).$$ Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $$BD:CD=AB:AC$$.