Упр.534 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$ диагональ $$AC$$ перпендикулярна к боковой стороне $$CD$$, угол $$\angle BAC=\angle CAD$$. Найдите $$AD$$, если периметр трапеции равен $$20\text{ см}$$, а угол $$D=60^\circ$$.
2. Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) $$AC$$, $$CD$$ и $$M_1M_2$$, $$MM_1$$; б) $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$MM_2$$, $$MM_1$$, $$M_1M_2$$; в) $$AB$$, $$BD$$ и $$MM_1$$, $$M_1M_2$$?

Так как $$BC \parallel AD,$$ то угол между прямыми $$AC$$ и $$CD$$ равен разности углов при основании трапеции:

$$\angle ACD=90^\circ-\angle D=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACD$$ (так как $$AC\perp CD$$) получаем:

$$CD=\frac12 AD.$$

По условию $$\angle BAC=\angle CAD.$$ Обозначим $$\angle CAD=x.$$ Тогда $$\angle BAC=x,$$ а значит

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=2x.$$

С другой стороны, в треугольнике $$ACD$$ имеем

$$\angle CAD=30^\circ,$$

следовательно,

$$\angle BAC=30^\circ,$$

и тогда

$$\angle A=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Так как $$\angle A=\angle D=60^\circ,$$ то трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, значит

$$AB=CD.$$

Кроме того, из $$BC\parallel AD$$ и секущей $$AC$$ получаем

$$\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$ABC$$ углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=30^\circ,$$

следовательно, $$AB=BC.$$

Итак,

$$AB=BC=CD.$$

Периметр трапеции равен

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=20.$$

Подставим $$AB=BC=CD=\frac12 AD$$:

$$P_{ABCD}=3\cdot \frac12 AD+AD=20,$$

$$\frac52 AD=20,$$

$$AD=8.$$

Ответ

$$AD=8\text{ см}.$$