Упр.532 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ $$AC$$ квадрата $$ABCD$$ равна $$18{,}4\ \text{см}$$. Прямая, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная к прямой $$AC$$, пересекает прямые $$BC$$ и $$CD$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Найдите $$MN$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BH$$. Докажите, что если:
   а) угол $$A$$ острый, то $$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH$$;
   б) угол $$A$$ тупой, то $$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагональ $$AC$$ является биссектрисой углов $$A$$ и $$C$$. Поэтому

$$\angle BAC=\angle ACD=45^\circ.$$

Поскольку прямая $$l$$ проходит через точку $$A$$ и перпендикулярна $$AC$$, то

$$\angle CAM=90^\circ,\qquad \angle CAN=90^\circ.$$

Тогда в треугольниках $$AMC$$ и $$ANC$$ имеем:

$$\angle CMA=45^\circ,\qquad \angle CNA=45^\circ.$$

Следовательно, оба треугольника равнобедренные:

$$AM=AC=18{,}4\text{ см},$$

$$AN=AC=18{,}4\text{ см}.$$

Тогда

$$MN=MA+AN=18{,}4+18{,}4=36{,}8\text{ см}.$$

Ответ: $$36{,}8\text{ см}$$.