Упр.532 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN. В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если: а) угол А острый, то ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АС x АН; б) угол А тупой, то ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС x АН.
Обозначим через $$H$$ основание высоты $$BH$$, проведённой из вершины $$B$$ на прямую $$AC$$.
а) Если $$\angle A$$ острый, то точка $$H$$ лежит на отрезке $$AC$$. Тогда
$$BH^2=AB^2-AH^2$$
и
$$BH^2=BC^2-HC^2.$$
Приравнивая, получаем
$$AB^2-AH^2=BC^2-HC^2,$$
откуда
$$BC^2=AB^2-AH^2+HC^2.$$
Так как $$AC=AH+HC$$, то $$HC=AC-AH$$. Подставим:
$$BC^2=AB^2-AH^2+(AC-AH)^2$$
$$BC^2=AB^2-AH^2+AC^2-2AC\cdot AH+AH^2$$
$$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH.$$
б) Если $$\angle A$$ тупой, то точка $$H$$ лежит на продолжении прямой $$AC$$ за точкой $$A$$. Тогда
$$BH^2=AB^2-AH^2$$
и
$$BH^2=BC^2-HC^2.$$
Следовательно,
$$AB^2-AH^2=BC^2-HC^2,$$
откуда
$$BC^2=AB^2-AH^2+HC^2.$$
Теперь $$HC=AC+AH$$, значит
$$BC^2=AB^2-AH^2+(AC+AH)^2$$
$$BC^2=AB^2-AH^2+AC^2+2AC\cdot AH+AH^2$$
$$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH.$$
Ответ
а) $$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH$$; б) $$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH$$.
