Упр.531 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
Стороны $$AB$$ и $$BC$$ прямоугольника $$ABCD$$ равны соответственно $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Прямая, проходящая через вершину $$C$$ и перпендикулярная к прямой $$BD$$, пересекает сторону $$AD$$ в точке $$M$$, а диагональ $$BD$$ — в точке $$K$$. Найдите площадь четырёхугольника $$ABKM$$.

Подробный ответ

Пусть $$S_{ABCD}$$ — площадь прямоугольника. Тогда

$$BD^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100,$$
$$BD=10\text{ см}.$$

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то его площадь равна

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=6\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

Треугольники $$BCD$$ и $$ABD$$ имеют общую высоту, проведённую к прямой $$BD$$, поэтому их площади равны. Следовательно,

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=24\text{ см}^2.$$

В треугольнике $$BCD$$ точка $$K$$ лежит на диагонали $$BD$$, а прямая $$CK$$ перпендикулярна $$BD$$. Тогда

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CK,$$
$$24=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot CK,$$
$$CK=4{,}8\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKD$$:

$$KD^2=CD^2-CK^2=6^2-4{,}8^2=36-23{,}04=12{,}96,$$
$$KD=3{,}6\text{ см}.$$

Пусть $$M$$ — точка пересечения прямой $$CK$$ со стороной $$AD$$. Тогда треугольники $$CDM$$ и $$CKD$$ имеют общую высоту из $$C$$ к прямой $$AD$$, поэтому

$$S_{CDM}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot DM=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot KD.$$

Так как $$CD=6$$, то

$$3DM=1{,}8\cdot CM.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$CMD$$

$$CM^2=CD^2+MD^2=36+MD^2.$$

Подставим это в равенство:

$$3DM=1{,}8\sqrt{36+MD^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$9MD^2=3{,}24(36+MD^2),$$
$$9MD^2=116{,}64+3{,}24MD^2,$$
$$5{,}76MD^2=116{,}64,$$
$$MD^2=20{,}25,$$
$$MD=4{,}5\text{ см}.$$

Теперь найдём $$KM$$. В прямоугольном треугольнике $$MKD$$:

$$KM^2=MD^2-KD^2=20{,}25-12{,}96=7{,}29,$$
$$KM=2{,}7\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$DKM$$ равна