Упр.531 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон. Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD в точке М, а диагональ BD — в точке К. Найдите площадь четырёхугольника АВКМ.

Обозначим через $$K$$ точку пересечения прямой, проходящей через $$C$$ и перпендикулярной к $$BD$$, с диагональю $$BD$$. Тогда $$CK \perp BD$$.

Найдём диагональ прямоугольника $$ABCD$$:

$$BD^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100,$$

значит, $$BD=10$$ см.

Площадь прямоугольника:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=6\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, поэтому

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}=24\text{ см}^2.$$

С другой стороны, для треугольника $$BCD$$:

$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CK,$$

откуда

$$24=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot CK,$$

$$CK=4{,}8\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKD$$. По теореме Пифагора:

$$KD^2=CD^2-CK^2=6^2-4{,}8^2=36-23{,}04=12{,}96,$$

$$KD=3{,}6\text{ см}.$$

Так как $$CK \perp BD$$ и $$BD$$ проходит через $$K$$, то в треугольнике $$CDM$$ высота $$DK$$ опущена на сторону $$CM$$. Тогда

$$S_{CDM}=\frac{1}{2}\cdot CD\cdot DM=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot KD.$$

Подставим $$CD=6$$ и $$KD=3{,}6$$:

$$3DM=1{,}8\,CM.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$CKD$$:

$$CM=\sqrt{CD^2+MD^2}=\sqrt{36+MD^2}.$$

Тогда

$$3DM=1{,}8\sqrt{36+MD^2},$$

$$MD=0{,}6\sqrt{36+MD^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$MD^2=0{,}36(36+MD^2),$$

$$MD^2=12{,}96+0{,}36MD^2,$$

$$0{,}64MD^2=12{,}96,$$

$$MD^2=20{,}25,$$

$$MD=4{,}5\text{ см}.$$

Теперь найдём $$KM$$:

$$KM^2=MD^2-KD^2=20{,}25-12{,}96=7{,}29,$$

$$KM=2{,}7\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$DKM$$:

$$S_{DKM}=\frac{1}{2}\cdot KD\cdot KM=\frac{1}{2}\cdot 3{,}6\cdot 2{,}7=4{,}86\text{ см}^2.$$

Тогда площадь четырёхугольника $$ABKM$$ равна площади прямоугольника минус площадь треугольника $$DKM$$:

$$S_{ABKM}=S_{ABCD}-S_{DKM}=24-4{,}86=19{,}14\text{ см}^2.$$

Ответ

$$19{,}14\text{ см}^2$$