Упр.528 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что прямые $$AN$$ и $$MC$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.
- В трапеции $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$AOB$$, если боковая сторона $$CD$$ трапеции равна $$12\ \text{см}$$, а расстояние от точки $$O$$ до прямой $$CD$$ равно $$5\ \text{см}$$.
Обозначим через $$H$$ и $$E$$ основания перпендикуляров из точек $$B$$ и $$C$$ на прямую $$AD$$. Тогда $$BH=CE$$, так как $$BC\parallel AD$$ и расстояния между параллельными прямыми равны.
Площадь треугольника $$COD$$ найдём по формуле площади через основание и высоту:
$$S_{COD}=\frac12\cdot CD\cdot OF=\frac12\cdot 12\cdot 5=30\ \text{см}^2.$$
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$. Их площади равны, потому что у них общее основание $$AD$$, а высоты к нему равны:
$$S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot BH,\qquad S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot CE,$$
а значит, $$S_{ABD}=S_{ACD}$$.
Диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$, поэтому
$$S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD},\qquad S_{ACD}=S_{COD}+S_{AOD}.$$
Так как $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, то
$$S_{AOB}=S_{COD}.$$
Следовательно,
$$S_{AOB}=30\ \text{см}^2.$$
Ответ
$$30\ \text{см}^2$$
