Упр.527 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая BK пересекает сторону AC в точке D. Докажите, что $$AD=\frac{1}{3}AC$$.
В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$BH$$ — высота, опущенная из точки $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BH=6$$ см, а диагональ $$BD=10$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDH$$. По теореме Пифагора:

$$HD=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ см}.$$

В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на основание равны, поэтому

$$AH=HD=8\text{ см}.$$

Тогда нижнее основание трапеции:

$$AD=AH+BC+HD=2\cdot 8+BC.$$

Но в равнобедренной трапеции отрезок между основаниями по горизонтали с обеих сторон одинаков, значит площадь удобно найти как сумму площадей двух равных прямоугольных треугольников и прямоугольника. Проще воспользоваться формулой площади трапеции через среднюю линию:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH.$$

Из прямоугольного треугольника $$BDH$$ получаем, что горизонтальная проекция диагонали равна $$8$$ см, а значит разность оснований равна $$16$$ см. Тогда при высоте $$6$$ см и диагонали $$10$$ см площадь трапеции равна удвоенной площади треугольника с катетами $$6$$ и $$8$$:

$$S=2\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=48\text{ см}^2.$$